Как объяснить слова некоторых молитвенных оборотов?

Похвально ваше желание разобраться в смысле читаемых молитв. Давайте вникнем.

1. «Благодарим Тя...». Действительно, слово «благодарю» образовано из двух слов: «благо» и «дарю». И если так, то получается несуразность, ибо какое благо может дать человек Богу? Но надо смотреть не на буквальное значение слова, а на смысл, который мы в него вкладываем. В русском языке это слово употребляется, когда мы, «будучи внутренне обязанными кому-нибудь, испытываем и выражаем чувство благодарности, признательности» (словарь Ожегова). И другого слова у нас для этого нет. И это замечательно, что нашу признательность мы выражаем через желание подарить добро благодетелю. В английском языке возглас священника во время анафоры «Благодарим Господа» переведен подобным же образом: «Let us give thanks unto the Lord». Кстати, в греческом языке слово «евхари́стия» также происходит от слов благодарение (от  εὖ — добро, благо и χάρις — почитание, честь). Ничего странного в этом нет. Апостол Павел, к примеру, многократно говорит: «Благодарю Бога моего всегда» (1 Кор. 1:4). В Ветхом Завете тоже читаем: «Посему, по последним повелениям Давыда, исчислены левиты от двадцати лет и выше, ... чтобы становились каждое утро благодарить и славословить Господа» (1 Пар. 23: 27-30). Словами благодарности исполнены все наши молитвы и псалмы. Синонимами этих слов благодарности являются выражения: «Исповедайтеся Го́сподеви» (славьте Господа) (Пс. 32:1), «хвалите Бога» (Пс. 150:1), «Вознесу́ тя, Бо́же мо́й, Царю́ мо́й, и благословлю́ и́мя твое́ в век и в век века. На вся́к де́нь благословлю́ тя, и восхвалю́ и́мя твое́ в век и в век века» (Пс. 144:1-2).

Так что благодарите Господа! И подумайте на досуге об этимологии слова «Бог» в разных языках. Или над словами, которыми мы приветствуем друг друга. В русском мы желаем здравия другу другу, на иврите — мира, на греческом — радости.

2. «Радуися! Кресте Господень...» — одушевление креста? Да, в этой молитве используются две риторические фигуры: обращение и олицетворение. Это частый поэтический прием, используемый в Библии и в наших богослужебных текстах, когда песнописец как бы влагает душу в бездушные предметы, облекает их личностью. Прочтите, например, псалом 148 «Хвалите Господа с небес, хвалите Его ... солнце и луна, хвалите Его все звезды света». Ярким примером такого приема является ирмос 5 песни канона на Воздвижение Честнаго и Животворящего Креста Господня, составленный преподобным Козмой Маиюмским: «О треблаженное древо, на немже распяся Христос, Царь и Господь, имже падеся, иже древом прельщеи, Тобою прельщен быв, Христови пригвоздьшуся плотию, подающему мир душам нашим». Древо названо треблаженным, и как само блаженное и как делающее блаженными чтущих его, и как достойное великого прославления (Иоанн Зонара). Потому, воспевая подобные песнопения, мы воздаем честь и славу Самому Христу Богу.

3. «Богородице Всемилостивая, моли Бога о нас грешных...» (Павечерница великая) — но ведь грешными в молитве мы можем называть только себя, разве не так?

Вот вы сами привели текст молитвы, где сказано «нас грешных», значит, не только себя мы можем называть грешными. Святых составителей этих молитв и тех, кто прежде вас так молился, это не смущало. Хотя обычно, когда мы молимся краткие молитвы Христу или святым, то в личном обращении говорим: «Помилуй мя грешнаго», а общий запев: «Помилуй нас». Но противоречия никакого нет.  Представим, что несколько человек собрались вместе и каждый молится от своего лица «Помилуй мя грешнаго». Не то же ли самое будет выражено молитвой «Помилуй нас грешных»? Мы ведь не для осуждения других это произносим, а из смиренного признания греховности каждого из нас, поврежденности греховом человеческой природы. Потому как «Един свят Един Господь Исус Христос в славу Богу Отцу. Аминь!»